Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Площадь меньшего круга равна 3 п см .Найдите площадь треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус меньшей окружности равен r, а радиус большей окружности равен R.

Так как меньшая окружность вписана в треугольник, то она касается всех трех сторон треугольника. Из свойств вписанного круга в треугольник мы знаем, что редугольник равен полупериметру треугольника, то есть r = (a + b + c) / 2.

Также из свойств описанного круга мы знаем, что радиус R равен половине длины гипотенузы треугольника, то есть R = c / 2.

Таким образом, a + b = 2r, c = 2R.

Площади треугольника и круга могут быть выражены через радиусы вписанной и описанной окружностей:

S(triangle) = r (a + b + c) / 2 = r 2r = 2r^2
S(circle) = pi * R^2

Так как S(circle) = 3 п кв. см, то pi R^2 = 3
Так как R = c / 2, то c = 2R => c = 2 sqrt(3/pi)

Так как r = (a + b - c) / 2 = (2r - c) / 2, то 2r = c => r = c/2 = sqrt(3/pi)

Теперь подставим значение r в формулу для площади треугольника:

S(triangle) = 2r^2 = 2 (sqrt(3/pi))^2 = 2 3/pi = 6/pi кв. см

Ответ: площадь треугольника равна 6/pi кв. см.