В четырёхугольнике ABCD,AB параллельно CD,а BCпараллельно AD,О-точка пересечения диагонали. периметр треугольника AOD=25см,AC=16cм.BD=14см,Найдите BC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка O делит диагональ AC в отношении m:n. Тогда периметр треугольника AOD равен AО + ОD + AD = 16 x m/(m+n) + 16 x n/(m+n) + 25. Так как BC параллельно AD, то треугольник BOC подобен треугольнику AOD, а значит, СО = 14 x m/(m+n) и ВO = 14 x n/(m+n). Так как BC параллельно AD, то треугольники ABC и ACD также подобны. Так как AC = 16 см и BD = 14 см, то AB/AD = BC/CD = 14/16 = 7/8. Так как AB параллельно CD, то CD = 8 x n/(m+n) и BC = 7 x m/(m+n). Отсюда 7/8 = 7 x m/(m+n) / 8 x n/(m+n) или 7n = 8m.

Подставим это в выражение для периметра треугольника AOD и решим его уравнение:
16 x m/(m+n) + 16 x n/(m+n) + 25 = 16 x m/(m+8m) + 16 x 8m/(m+8m) + 25 = 25 + 128/9 = 277/9.

Отсюда получаем значение m = 75, n = 56.

Теперь находим длину BC:
BC = 7 x 75/(75+56) = 37.5.

Ответ: BC = 37.5 см.