Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость альфа. BC не пренадлежит альфа. докажите , что прямая, проходящая через середины сторон AB и CD , параллельна плоскости альфа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть M - середина стороны AB, N - середина стороны CD, O - точка пересечения прямой MN и плоскости AD.

Так как M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно, то OM = MB и ON = ND. Также из свойств трапеции известно, что AD || BC, следовательно угол ADO = угол OCD, угол AOD = угол ODC.

Так как прямая MN проходит через середины сторон AB и CD, то OM = MB = MN/2 и ON = ND = MN/2.

Теперь рассмотрим треугольники OMD и ONC. У них две пары равных сторон OM = MB, ON = ND и один угол ADO = угол OCD, следовательно, по теореме о равенстве треугольников они равны. В частности, угол ODM = угол OWN.

Таким образом, прямая MN параллельна плоскости AD, так как углы ODM и OWN равны, и прямые, параллельные одной плоскости, параллельны между собой.