Докажите,что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360 градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого факта можно воспользоваться тем, что угол, образованный двумя сторонами выпуклого многоугольника и продолжением одной из его сторон, равен 180 градусов.

Рассмотрим выпуклый многоугольник с n сторонами. Тогда он можно разбить на n треугольников, каждый из которых образован двумя соседними сторонами многоугольника и одним из его углов. Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусов.

Таким образом, сумма всех внутренних углов многоугольника будет равна 180*(n-2) градусов.

Теперь рассмотрим внешние углы многоугольника. Они образованы продолжениями сторон многоугольника, то есть составляют с ними линией прямого угла. То есть каждый внешний угол многоугольника равен 180 градусов минус соответствующий внутренний угол.

Сумма всех внешних углов многоугольника будет равна сумме 180 градусов и всех внутренних углов многоугольника, то есть 180 + 180*(n-2) = 180n - 360 градусов.

Таким образом, сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника равна 180n - 360 градусов, что доказывает утверждение.