Дан куб ABCDA1B1C1D1. На рёбрах B1A1 и A1D1 соответственно отмечены точки N и M так, что B1N:NA1=1:1;A1M:MD1=1:3. Определи косинус угла α между прямыми BN и AM, если ребро куба равняется 1 ед. изм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины отрезков BN и AM. Поскольку B1N:NA1=1:1, то B1N = NA1 = 1/2.

Также A1M:MD1=1:3, то есть A1M = MD1 = 1/4.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. Поскольку AB=AM=1, а BM=√(1^2 + 1/4^2)=√(1+1/16)=√17/4, то косинус угла α между прямыми BN и AM выражается формулой:

cos(α) = (AB^2 + AM^2 - BM^2) / (2⋅AB⋅AM)
cos(α) = (1^2 + 1^2 - (\sqrt{17}/4)^2) / (2⋅1⋅1)
cos(α) = (2 - 17/16) / 2
cos(α) = (32 - 17) / 32
cos(α) = 15 / 32

Ответ: косинус угла α между прямыми BN и AM равен 15/32.