Докажите, что биссектрисы внутренных углов прямоугольников пересекаются и образуют квадрат

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами прямоугольника.

Пусть ABCD - прямоугольник, а AD и BC - его диагонали. Пусть точка пересечения биссектрис угла A равна O.

Точка O является центром окружности, описанной около треугольника ACD, так как OA равно OD (как радиусы этой окружности) и угол AOD равен 90 градусов (так как AD является диаметром этой окружности).Точка O также является центром окружности, описанной около треугольника ABC, так как OB равно OC (как радиусы этой окружности) и угол BOC равен 90 градусов (так как BC является диаметром этой окружности).Таким образом, точка O является центром окружности, описанной около прямоугольника ABCD. Кроме того, она также является центром вписанной в этот прямоугольник окружности (так как она является центром окружности, описанной около треугольников ACD и ABC).Значит, биссектрисы углов прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, которая является центром вписанной в этот прямоугольник окружности.

Поскольку центр вписанной в прямоугольник окружности совпадает с центром описанной окружности, то они равны и пересекаются в середине диагоналей прямоугольника. Таким образом, образуется квадрат.