Две окружности с радиусами 8 и 2Две окружности с радиусами 8 и 2 касаются внешним образом. Найдите ab - отрезок на их общей внешней касательной, заключённой между точками касания (С решением)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим центры окружностей как O1 и O2, точки касания с общей касательной как A и B, а точу касания окружностей между собой как C.

Так как касание внешнее, то векторы O1A и O2B будут коллинеарны, а значит треугольники O1AC и O2BC подобны. Тогда отношение радиусов будет равно отношению сторон треугольников, то есть:

AC/BC = 8/2 = 4

Поскольку AC + BC = AB, то можем записать систему уравнений:

AC + BC = AB
AC/BC = 4

Из второго уравнения выразим, например, AC через BC:

AC = 4BC

Подставим это в первое уравнение:

4BC + BC = AB
5BC = AB

AB = 5BC

Таким образом, отрезок AB равен 5 раз отрезку BC. Теперь найдем отрезок BC с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника O1CO2:

(BC)^2 + (CO1 - CO2)^2 = (8 + 2)^2
(BC)^2 + 6^2 = 10^2
(BC)^2 + 36 = 100
(BC)^2 = 64
BC = 8

Теперь подставляем это значение обратно в уравнение AB = 5BC:

AB = 5 * 8
AB = 40

Итак, отрезок AB равен 40.