В прямоугольном треугольнике abc высота СН проведенная из вершины прямого угла С делит гипотенузу на два отрезка АН=16см. и ВН=25см. Найти СН, АС, ВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина гипотенузы треугольника abc равна с, длина катета ac равна b, а длина катета bc равна a.

Так как высота CN делит гипотенузу на два отрезка, то AN = 16 и BN = 25. Из этого следует, что NC = c - 16 и NC = c - 25.

Так как CN - высота, то треугольники ACN и BCN подобны треугольнику ABC:
AC/BC = NC/NC
b/a = 16/(c-25) = 25/(c-16)

Решим эту систему уравнений:

b/a = 16/(c-25)
b = 16a/(c-25) (1)

b/a = 25/(c-16)
b = 25a/(c-16) (2)

Из уравнений (1) и (2) получаем:
16a/(c-25) = 25a/(c-16)
16(c-16) = 25(c-25)
16c - 256 = 25c - 625
625 - 256 = 25c - 16c
369 = 9c
c = 41

Теперь найдем CN:
NC = c - 16
NC = 41 - 16
NC = 25

Найдем длины отрезков AN и BN:
AN = 16 мм
BN = 25 мм

Найдем длины отрезков AC и BC:
AC = b = 16a/(c-25) = 1616/(41-25) = 256/16 = 16
BC = a = 25a/(c-16) = 2516/(41-16) = 400/25 = 16

Итак, получаем:
CN = 25 мм
AC = BC = 16 мм