В прямоугольном треугольнике ABC,BC=9 см,медианы треугольника пересекаются в точке O,OB=10 см.Найдите площадь треугольника ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем длину медианы OC. Поскольку медиана делит сторону треугольника пополам, то EC=4,5 см. В прямоугольном треугольнике BOC применим теорему Пифагора:
$$
\sqrt{10^2-(4,5)^2}=\sqrt{100-20,25}=\sqrt{79,75}\approx 8,93\text{см}
$$
Теперь вычислим высоту треугольника ABC из точки O:
$$
h=\frac{AC}{2}=\frac{2S}{BC}=\frac{2S}{9}
$$
Из теоремы Пифагора для треугольника AOC:
$$
AC^2=8,93^2+(2S/9)^2
$$
Заменим AC:
$$
79,75=(2S/9)^2+79,29
$$
$$
(2S/9)^2=0,46
$$
$$
2S=\sqrt{0,46}\cdot 9\approx 3,08 \cdot 9=27,72
$$
Теперь найдем площадь треугольника ABC:
$$
S=\frac{27,72}{2}=13,86\text{ см}^2
$$