Через середину О гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет АС в точке М, другая – катет ВС в точке N. Найдите гипотенузу АВ, если MN = 7 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть АС = х, ВС = у, тогда гипотенуза АВ = √(x^2 + y^2).

Так как прямая, проходящая через середину гипотенузы и параллельная катету, делит этот катет пополам, то AM = MC = х/2 и BM = CN = у/2.

Из подобия треугольников АВМ и АСМ получаем: у/2 / (x / 2) = √(x^2 + y^2) / х.

Из подобия треугольников АВN и ВСN получаем: х/2 / (у / 2) = √(x^2 + y^2) / у.

Отсюда получаем систему уравнений:
у / x = √(x^2 + y^2) / х,
x / у = √(x^2 + y^2) / у.

Возведем первое уравнение в квадрат:
y^2 / x^2 = (x^2 + y^2) / x^2,
y^2 = x^2 + y^2,
x^2 = 0.

Таким образом, у = 2x.

Из условия MN = 7 см имеем x - у = 7 см, что равно x - 2x = 7, то есть x = -7 см.

Так как стороны не могут быть отрицательными, то x = 7 см.

Итак, гипотенуза АВ = √(7^2 + 2*7^2) = √(49 + 98) = √147 = 7√3 см.