Точка М не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая, содержащая середины отрезков MC и MD параллельна прямой AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что прямая, содержащая середины отрезков MC и MD, не параллельна прямой AB. Тогда эти две прямые пересекаются в точке P.

Рассмотрим параллелограмм MCNP, где P - середина отрезка AB. Так как прямая, содержащая середину отрезка MD, пересекает прямую AB в точке P, то MP является медианой треугольника AMD. Аналогично, потому что прямая, содержащая середину отрезка MC, пересекает прямую AB в точке P, то NP является медианой треугольника BMC.

Таким образом, треугольник AMD подобен треугольнику BMP по двум сторонам, а треугольник BMC подобен треугольнику NMP по двум сторонам. Следовательно, AB || MP, а также AB || NP.

Но раз AB параллельна MP и NP, то MP и NP тоже параллельны, что противоречит тому, что прямые, содержащие середины отрезков MC и MD, пересекаются.

Итак, мы получили противоречие с нашим изначальным предположением, следовательно, прямая, содержащая середины отрезков MC и MD, параллельна прямой AB.