В правильной треугольной пирамиде DABC высота DO равна 3 см, а боковое ребро DA равно 5 см. Найдите: а) площадь полной поверхности пирамиды; б) угол между боковым ребром и плоскостью основания; в) угол наклона боковой грани к плоскости основания; г) радиус шара, вписанного в пирамиду.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Площадь полной поверхности пирамиды можно найти по формуле:

S = Sосн + Sбок,

где Sосн - площадь основания пирамиды, а Sбок - площадь всех боковых граней.
Так как пирамида DABC правильная, то ее основание - равносторонний треугольник, и его площадь можно найти по формуле:

Sосн = (a^2 * √3) / 4,

где a - длина стороны основания.

Для нашего случая a = 5 см, значит Sосн = (5^2 √3) / 4 = (25 √3) / 4.

Также нам нужно найти площадь боковой грани пирамиды. Для этого рассмотрим треугольник ADO. Так как пирамида правильная, то угол между боковым ребром и основанием равен 60 градусов (360 градусов всей пирамиды / 6 боковых граней). Таким образом, боковая грань прямоугольного треугольника ADO является гипотенузой прямоугольного треугольника ADO, сторона основания пирамиды - катетом, а DO - высотой. С учетом того, что DO = 3 см, то AD = 5 / 2 = 2.5 см. Тогда площадь боковой грани:

Sбок = 0.5 AD DO = 0.5 2.5 3 = 3.75 см^2.

Итак, S = Sосн + Sбок = (25 * √3) / 4 + 3.75 ≈ 17.88 см^2.

б) Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60 градусов.

в) Угол наклона боковой грани к плоскости основания также равен 60 градусов.

г) Для нахождения радиуса шара, вписанного в пирамиду, используем формулу:

r = (V * 3) / (Sосн + Sбок),

где V - объем пирамиды. Для правильной пирамиды V = (a^2 h √3) / 12, где h - высота пирамиды.

В нашем случае h = DO = 3 см, а a = 5 см. Тогда V = (5^2 3 √3) / 12 ≈ 18.66 см^3.

Теперь подставляем значения в формулу для радиуса:

r = (18.66 3) / ((25 √3) / 4 + 3.75) ≈ 1.23 см.

Итак, радиус шара, вписанного в пирамиду, составляет около 1.23 см.