В трапеции ABCD продолжение боковых строн AB и CD пересекаются в точке F . Докажите , что треугольник BFC и AFD подобнее . Найдите площадь трапеции ABCD , если АB:BF=3:1 , а площадь треугольника BFC=2 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

По условию, AB:BF=3:1, значит BF составляет 1/4 от AB.
Также, так как BF и CD - продолжения боковых сторон трапеции, то AF = AD.

Рассмотрим треугольники BFC и AFD.
У них общий угол при F (так как это соответствующие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD), а также угол ABC и угол ADC равны, так как это углы противоположные при пересечении AB и CD.

Следовательно, они подобны (по двум углам):
BFC ~ AFD

Теперь найдем площадь трапеции ABCD.
Сначала найдем высоту трапеции. По свойству подобных треугольников, высота трапеции также будет составлять 1/4 от высоты AB, то есть BF.
Так как площадь треугольника BFC равна 2 см^2, и его высота BF равна 1/4 от высоты AB, то площадь BFC равна (1/4)BFBF = 2.
Отсюда находим, что BF=4 см.

Так как AB:BF=3:1 и BF=4 см, то AB=12 см.

Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей параллелограммов ABF и CDF:
S(ABCD) = S(ABF) + S(CDF)
S(ABCD) = BFAB + BFCD = BF(AB + CD)
S(ABCD) = 4(12 + CD)

Также, по свойству подобных треугольников, AB/AF = BC/FC, то есть 3/1 = 12/FC, откуда FC = 4 см.

Таким образом,
S(ABCD) = 4*(12 + 4) = 64 см^2

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 64 см^2.