В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим углом альфа. Боковая грань пирамиды, проходящая через этот катет составляет с плоскостью основания угол фи. Найдите объем конуса.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту конуса через h. Так как вершина конуса является точкой пересечения всех боковых граней пирамиды, то прямая, проведенная из вершины конуса к середине гипотенузы прямоугольного треугольника, является высотой пирамиды. Пусть этот отрезок равен r.

Таким образом, мы получаем, что в правильной непрямоугольной пирамиде для высоты h справедливо равенство:
$$h = \dfrac{r}{tg(\alpha)} = \dfrac{a}{tg(\alpha)}.$$

Объем конуса можно найти по формуле:
$$V = \dfrac{1}{3}S{\text{осн}} \cdot h,$$
где $$S{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} a^2.$$

Тогда, подставляя найденное значение h в формулу для объема конуса, получаем:
$$V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} a^2 \cdot \dfrac{a}{tg(\alpha)} = \dfrac{1}{6} \cdot a^3 \cdot \dfrac{1}{tg(\alpha)} = \dfrac{a^3}{6\cdot tg(\alpha)}.$$