Основание призмы-ромб с углом 60° и стороной a, а все боковые грани квадраты. Найдите длины диагоналей призмы и площади диагональных сечений.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы имеем, что угол между диагоналями ромба равен 60°.

Пусть диагонали ромба равны d1 и d2, а сторона квадрата равна a.

Так как у ромба диагонали взаимно перпендикулярны, то можем составить два прямоугольных треугольника:

Тогда можем записать следующие соотношения
d1^2 = (a/2)^2 + a^2 = a^2/4 + a^2 = 5a^2/4
d2^2 = a^2 + a^2 = 2a^2.

Так как угол между диагоналями ромба равен 60°, то можем записать
tg(60°) = sqrt(3) = d1/d2.

Отсюда получаем
d1 = sqrt(3) * d2.

Подставляем это выражение в первое уравнение
5a^2/4 = 3 d2^2
d2 = a sqrt(5) / 2.

Также найдем длину диагонали d1
d1 = sqrt(3) d2 = sqrt(3) (a sqrt(5) / 2) = a sqrt(15) / 2.

Теперь найдем площадь диагонального сечения
S = (1/2) d1 d2 = (1/2) (a sqrt(15) / 2) (a sqrt(5) / 2) = (5/4) a^2 sqrt(3).

Таким образом, длины диагоналей призмы равны a sqrt(5) / 2 и a sqrt(15) / 2, а площадь диагонального сечения равна (5/4) a^2 sqrt(3).