Дан треугольник с вершинами А (2,-4,5) В (1,0,2) С (5,7,1). Вычислить площадь и высоту АD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площади треугольника по координатам вершин можно воспользоваться формулой площади треугольника через координаты вершин:
S = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

где x1, y1, z1 - координаты первой вершины (A),
x2, y2, z2 - координаты второй вершины (B),
x3, y3, z3 - координаты третьей вершины (C).

Подставим данные вершин треугольника и рассчитаем площадь:

S = 1/2 |2(0 - 7) + 1(7 - (-4)) + 5((-4) - 0)|
S = 1/2 |2(-7) + 1(11) + 5(-4)|
S = 1/2 |-14 + 11 - 20|
S = 1/2 * |-23|
S = 11.5

Теперь вычислим высоту треугольника AD. Для этого нам нужно определить длину вектора AD и провести перпендикуляр из вершины D к стороне AC. После этого вычислим длину этого перпендикуляра, что и будет высотой треугольника AD.

Для вычисления длины вектора AD и высоты следует выполнить следующие шаги:

Найдём координаты вектора AD, вычитая координаты вершины B из координат вершины D:
AD = (5-2, 7-(-4), 1-5) = (3, 11, -4)

Вычислим длину вектора AD по формуле:
|AD| = √(3^2 + 11^2 + (-4)^2) = √(9 + 121 + 16) = √146 ≈ 12.08

Найдём угол между вектором AD и вектором AC по формуле скалярного произведения векторов:
cos(ADC) = (AD AC) / (|AD| |AC|)

Подставим координаты векторов AD и AC и найдём их скалярное произведение:
AD AC = 33 + 117 + (-4)(-4) = 9 + 77 + 16 = 102

Найдём длину вектора AC:
|AC| = √( (5-1)^2 + (7-0)^2 + (1-2)^2 ) = √(16 + 49 + 1) = √66 ≈ 8.12

Подставим все значения в формулу для нахождения cos(ADC):
cos(ADC) = 102 / (12.08 * 8.12) ≈ 1.58 / 97.98 ≈ 0.0161

Найдём угол ADC:
ADC = arccos(0.0161) ≈ 89.17°

Теперь вычислим высоту треугольника AD, используя формулу для расстояния от точки D до прямой AC:
h = |AC| sin(ADC) ≈ 8.12 sin(89.17°) ≈ 8.11

Таким образом, площадь треугольника ABC составляет 11.5, а высота треугольника AD относительно стороны AC равна примерно 8.11.