проведена прямая m параллельная стороне ab докажите что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием ab имеют равные площади?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства утверждения, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием ab имеют равные площади, докажем следующее:

Пусть дан треугольник ABC с вершинами A, B, C на прямой m и основанием ab. Проведем высоту CD из вершины C на сторону ab.

Так как прямая m параллельна стороне ab, то угол CAD равен углу CBA, также угол ACD равен углу ABC (по свойству параллельных прямых и попарно соответственных углов).

Таким образом, треугольники CAD и CBA равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому они подобны.

По свойству подобных треугольников, отношение площадей треугольников CAD и CBA равно квадрату отношения сторон, стоящих на его местах, то есть S(CAD)/S(CBA) = (CD/BC)^2.

Но так как CD - высота, проведенная из вершины C треугольника ABC на сторону ab, а BC - основание треугольника ABC, то CD = AC, а BC = AB.

Таким образом, получаем S(CAD)/S(CBA) = (AC/AB)^2 = 1, что означает, что площади треугольников CAD и CBA равны.

Таким образом, для любого треугольника с вершинами на прямой m и основанием на стороне ab будет верно, что его площадь равна площади других подобных треугольников с такими же характеристиками.