В прямоугольном треугольнике ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

угол A равен 90 градусов, а гипотенуза BC равна 10 см. Определим длины катетов треугольника.

Используем теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

BC^2 = AB^2 + AC^2
10^2 = AB^2 + AC^2
100 = AB^2 + AC^2

Так как угол A прямой, то катеты можно обозначить как AB и AC, где AB - катет при угле B, а AC - катет при угле C.

Также, по определению функций синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, имеем:

AB = AC sin(B)
AC = BC cos(B)

Подставляем выражения для AB и AC в уравнение Пифагора:

100 = (AC sin(B))^2 + (BC cos(B))^2

Теперь подставляем известное значение гипотенузы BC = 10 см:

100 = (AC sin(B))^2 + (10 cos(B))^2

С учетом того, что sin(B) = cos(90-B), а cos(B) = sin(90-B), уравнение принимает вид:

100 = (AC cos(90-B))^2 + (10 sin(90-B))^2
100 = (AC cos(C))^2 + (10 sin(C))^2

Теперь используем тригонометрические тождества для квадратов синуса и косинуса:

100 = AC^2 cos^2(C) + 10^2 (1 - cos^2(C))
100 = AC^2 cos^2(C) + 100 - 100 cos^2(C)
0 = AC^2 cos^2(C) - 100 cos^2(C)
0 = cos^2(C) (AC^2 - 100)
AC^2 = 100
AC = 10 см

Таким образом, оба катета треугольника ABC равны 10 см.