Докажите, что четырёхугольник АВСD с вершинами в точках А(2;1;3), В(1;0;7), С(-2;1;5), D(-1;2;1).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства, что четырехугольник ABCD действительно существует, нужно проверить, что точки A, B, C и D не лежат на одной прямой.

Для этого найдем векторы AB, AC и AD:

AB = B - A = (1 - 2; 0 - 1; 7 - 3) = (-1; -1; 4),
AC = C - A = (-2 - 2; 1 - 1; 5 - 3) = (-4; 0; 2),
AD = D - A = (-1 - 2; 2 - 1; 1 - 3) = (-3; 1; -2).

Теперь вычислим смешное произведение векторов AB, AC и AD:

[AB, AC, AD] = det((-1, -1, 4), (-4, 0, 2), (-3, 1, -2))
= -1(-22 - 41) - (-1)(4(-2) - (-4)(-3)) + 4(11 - (-3)0)
= -1(-4 - 4) - (-1)*(-8 + 12) + 4
= 8 - 4 + 4 = 8.

Так как смешное произведение векторов AB, AC и AD не равно нулю, то точки A, B, C и D не лежат на одной прямой. Следовательно, четырехугольник ABCD существует.