В правильной четырехугольной пирамиде угол между боковым ребром и высотой равен 60 градусам. Боковое ребро равно 16 см. Найти объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим боковое ребро как (a = 16) см, угол между боковым ребром и высотой как (\alpha = 60^\circ).

Пусть площадь основания пирамиды равна (S), а высота пирамиды равна (h). Тогда объем пирамиды можно найти по формуле:

[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h]

Из геометрии правильной четырехугольной пирамиды видно, что боковая грань является равнобедренным треугольником. Пусть боковые грани равны (b). Тогда можем рассмотреть прямоугольный треугольник со сторонами (a), (h) и пусть гипотенуза равна (c), для которого верно:

[\sin{\alpha} = \frac{a}{c} = \frac{a}{\sqrt{\frac{c^2}{h^2} + h^2}}]

Так как (b = c) и обозначив основание пирамиды как равнобедренный треугольник со сторонами (s), получим:

[S = \frac{1}{2} \cdot s \cdot \sqrt{b^2 - \frac{s^2}{4}}]

С учетом формулы для синуса угла разности:

[S = \frac{1}{2} \cdot s \cdot b \cdot \cos{\alpha}]

Тогда объем пирамиды:

[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot s \cdot b \cdot \cos{\alpha} \cdot h]

Подставляя известные значения, получим:

[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos{60^\circ} \cdot h = \frac{1}{6} \cdot 16 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot h = \frac{1}{6} \cdot 128 \cdot h = 21.33 \cdot h]

Таким образом, объем пирамиды равен (21.33h) кубическим сантиметрам.