Биссектриса внутреннего угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке D; точка E на стороне AB такова, что угол ADC = углу ADE. Известно что длина стороны AB равна 34, а длина стороны BC больше длины стороны CA на 3. Найдите периметр треугольника DEB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка F - точка пересечения биссектрисы угла A с стороной AC. Так как AD является биссектрисой угла A, то точки F и E совпадают. Из условия, угол ADC = углу ADE = углу ADF, значит треугольник ADF равнобедренный, и AF=DF.

Поскольку AF=DF, то треугольник ABD равнобедренный, а значит AB=BD=34.

Пусть BC=x, тогда AC=x-3.

Из равнобедренности треугольника ABD следует, что угол DAB = угол DBA. Так как угол DBA входит в угол ABC, то угол ABC = 2угол DAB = 2угол DBA. Следовательно, угол ABC = 2угол DBA = 2угол DAC = 2угол DAE = 2угол ADE = 2угол ADC. Так как угол ABC равен сумме углов ABE и ADE, то получаем, что угол ABE = 2угол ADC - угол ADE = угол ADC = угол ADE.

Значит, треугольники ABC и ABE подобны и AB/BC = AE/EC. Подставим AB=34 и AC=x-3 в это равенство:

34/x = (x-3)/3

34x = 3x - 9

34x-3x = -9

31x = -9

x = -9/31

Отрицательное значение не имеет смысла, поэтому длина стороны BC = x = 9. Длина стороны AC равна 6.

Теперь можем найти периметр треугольника DEB:

DE = AD = 9 (так как треугольники ADF и ADE равнобедренные)

По условию треугольники ABD и BCD равнобедренные, значит CD = BD = 34

Таким образом, DE + EB + BD = 9 + 34 + 34 = 77.

Периметр треугольника DEB равен 77.