Вершины AAA и CCC треугольника ABCABCABC лежат в плоскости α{\alpha}α . Через вершину BBB , не лежащую в плоскости α{\alpha}α , проведена прямая, параллельная биссектрисе CMCMCM треугольника ABCABCABC . Она пересекает плоскость α {\alpha}α в точке KKK . Найди длину отрезка CKCKCK , если известно, что AC=6AC=6AC=6 , BC=15BC=15BC=15 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка пересечения прямой с плоскостью обозначается как RRR.

Так как отрезок BRBRBR параллелен биссектрисе CMCMCM треугольника ABCABCABC, то у нас есть следующие равенства отношений длин сторон треугольников:

BRBA=CRCA=BCAC=15156=535\frac{BR}{BA} = \frac{CR}{CA} = \frac{BC}{AC} = \frac{15}{6} = \frac{5}{3}BAR CR CA BC AC 1515=35

Теперь, рассмотрим треугольник CBRСВRСВR. Из правила Чевы для треугольника с высотой CMCMCM получаем:

CB⋅RK⋅BA=CR⋅BKBACB \cdot RK \cdot BA = CR \cdot BKACB⋅RK⋅BA=CR⋅BK

Подставляя известные значения, получаем:

15⋅RK⋅6=5⋅BR15 \cdot RK \cdot 6 = 5 \cdot BR15⋅RK⋅6=5⋅BR

RK=2⋅BRRK = 2 \cdot BRRK=2⋅BR

Также, заметим, что треугольник BKRBRB является прямоугольным, так как BRBRBR параллелен биссектрисе. Из этого следует:

BR2+BK2=15BR^2 + BK^2 = 15BR2+BK2=15

Подставляем RK=2⋅BRRK = 2 \cdot BRRK=2⋅BR:

BR2+(2BR)2=15BR^2 + (2BR)^2 = 15BR2+(2BR)2=15
BR2+4BR2=15BR^2 + 4BR^2 = 15BR2+4BR2=15
5BR2=155BR^2 = 155BR2=15
BR2=3BR^2 = 3BR2=3
BR=3BR = 3BR=3

Таким образом, BR=3BR = 3BR=3 и RK=2⋅BR=6RK = 2 \cdot BR = 6RK=2⋅BR=6, а значит, CK=6+6=12CK = 6 + 6 = 12CK=6+6=12.

Ответ: длина отрезка CKCKCK равна 12.