Дан угол BAC, AD – его биссектриса. Через произвольную точку M, принадлежащую AD, проведена прямая MN, перпендикулярная AD, которая пересекает стороны угла в точках N и K соответственно. Докажи, что она отсекает на сторонах угла равные отрезки

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть AM = x, MD = y, AN = z, ND = t.

Так как AD - биссектриса угла BAC, то AN/ND = AM/MD. Из этого равенства следует, что z/t = x/y, откуда zy = xt.

Также, по условию, прямая MN перпендикулярна AD, поэтому ND = NK.

Из этих двух равенств получаем, что zy = NK t. Следовательно, z ND = NK * t.

Из равенства zy = NK * t и zy = xt следует, что NK = x и ND = y. Таким образом, отрезок NK равен отрезку AM, а отрезок ND равен отрезку MD.

Таким образом, прямая MN действительно отсекает на сторонах угла равные отрезки.