Точка касания окружности вписанной в прямоугольный треугольник делит один из его катетов на отрезки 8 см и 2 см. Найдите стороны треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию, точка касания делит один из катетов на отрезки 8 см и 2 см, следовательно, катет равен $10$ см.

Так как окружность вписана в прямоугольный треугольник, то радиус окружности равен равен полупериметру треугольника, то есть $r = \frac{a + b + c}{2}$.

С другой стороны, радиус окружности можно выразить через площадь прямоугольного треугольника: $r = \frac{ab}{a + b + c}$.

Из этих двух равенств получаем:

$$\frac{a + b + c}{2} = \frac{ab}{a + b + c}$$

$$a^2 + b^2 + 2ab = 4ab$$

Подставляем $a = 10$ и решаем уравнение:

$$100 + b^2 + 20b = 40b$$

$$b^2 - 20b + 100 = 0$$

$$(b - 10)^2 = 0$$

$$b = 10$$

Таким образом, стороны треугольника равны 8 cм, 10 cм, и 12 cм.