Точки А , B , C , D не лежат в одной плоскости. Докажите , что середины отрезков AB , AD , BC и CD являются вершинами параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть M, N, P, Q - середины отрезков AB, AD, BC и CD соответственно.

Так как точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, то прямая MN параллельна прямой CD и равна ей по длине (так как M и N - середины соответствующих отрезков). Аналогично, прямая PQ параллельна прямой AB и равна ей по длине.

Теперь заметим, что треугольники АВС и NQP подобными (по критерию похожести треугольников), так как соответствующие стороны пропорциональны (AB=NQ, BC=PQ, AC=NP) и соответствующие углы при вершинах А и Н, В и Q, и С и P равны.

Из подобия треугольников следует, что прямые MQ и СD также параллельны, и равны по длине.

Итак, получаем, что MP=CQ и NQ=DP, а значит, MPQC - параллелограмм.

Таким образом, середины отрезков AB, AD, BC и CD действительно являются вершинами параллелограмма.