В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника AOB, если < CAD=30, АС=12см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи видим, что треугольник ACD - равносторонний, так как AC=CD=12 см, и угол CAD = 30 градусов.
Так как CD = AC = 12 см, то треугольник ACD - равносторонний, т.е. углы CAD и ADC = 60 градусов.
Таким образом, угол ACD = 180 - 60 - 30 = 90 градусов.

Теперь заметим, что треугольники ACD и AOB подобны, так как у них углы равны (угол по общему основанию CAD равен углу по общему основанию AOB). Поскольку угол ACD = 90 градусов, угол AOB тоже равен 90 градусам.

Из подобия треугольников ACD и AOB, мы можем записать пропорцию для сторон:

AB/AO = AC/AD
AB/AO = 12/AD

Поскольку угол AOB = 90 градусов, по теореме Пифагора, AO^2 + OD^2 = AD^2
AO^2 + 6^2 = AD^2
AO^2 + 36 = AD^2

Из пропорции AB/AO = 12/AD, мы можем выразить AB через AO:

AB = 12 * AO / AD

Таким образом, периметр треугольника AOB равен:
AO + AB + AB = AO + 2 AB
Подставляем AB = 12 AO / AD:

AO + 2 (12 AO / AD) = AO + 24 AO / AD
AO (1 + 24/AD) = AO * (24 + AD) / AD

Так как AO = AD/√2, а CD = 12 см, то AO = 12/√2 см
Подставляем AO и ранее найденное выражение для AD:

(12/√2) (1 + 24/12) = (12/√2) (3) = 18√2 см

Итак, периметр треугольника AOB равен 18√2 см.