В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AA1, медиана CC1 и высота BB1 пересеклись в одной точке. Сторона AB равна 24 а AC=16. Найдите косинус угла BAC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим угол BAC как α.

Так как биссектриса AA1 делит сторону BC на отрезки в пропорции AC1:AB1 = AC:AB, то AC1 / AB1 = AC / AB. Так как AC = 16, AB = 24, то AC1 = 16 / (16 + 24) BC = 16 / 40 BC = 2 / 5 BC, и AB1 = 24 / (16 + 24) BC = 3 / 5 * BC. Теперь, так как медиана CC1 делит сторону AB на отрезки в пропорции AC1:AB1 = AC:AB, то AC1 / AB1 = AC / AB. Подставив значения находим BC = 40.

Теперь используем теорему косинусов в треугольнике ABC:

cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc,

где a = BC, b = AC, c = AB.

Подставляем значения:

cos(α) = (16^2 + 24^2 - 40^2) / (2 16 24) = (256 + 576 - 1600) / 768 = 232 / 768 = 29 / 96.

Косинус угла BAC равен 29 / 96.