Пусть меньшее основание трапеции равно a, боковая сторона равна b, большее основание равно c, а диагональ равна d.
Из условия задачи имеемb = ∠ABC = 30°
Обозначим через h высоту трапеции. Тогда применим теорему косинусов к треугольнику ABC:
cos(30°) = (b^2 + h^2 - a^2) / (2 b h√3 / 2 = (a^2 + h^2 - a^2) / (2 a h√3 / 2 = h / (2 ah = a √3
Так как треугольник ADC равнобедренный, то h является высотой треугольника ADC.
Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику ADC:
d^2 = (c - a)^2 + h^d^2 = (c - a)^2 + a^2 d^2 = a^2 3 + c^2 - 2 a c
Так как трапеция равнобокая, то c = a + 2b = 3a. Подставляем это в формулу для d^2:
d^2 = a^2 3 + (3a)^2 - 2 a 3d^2 = 3a^2 + 9a^2 - 6a^d^2 = 6a^d = a √6
Таким образом, угол при вершине B трапеции равен:
∠B = 180° - ∠ABC = 180° - 30° = 150°.
Пусть меньшее основание трапеции равно a, боковая сторона равна b, большее основание равно c, а диагональ равна d.
Из условия задачи имеем
b =
∠ABC = 30°
Обозначим через h высоту трапеции. Тогда применим теорему косинусов к треугольнику ABC:
cos(30°) = (b^2 + h^2 - a^2) / (2 b h
√3 / 2 = (a^2 + h^2 - a^2) / (2 a h
√3 / 2 = h / (2 a
h = a √3
Так как треугольник ADC равнобедренный, то h является высотой треугольника ADC.
Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику ADC:
d^2 = (c - a)^2 + h^
d^2 = (c - a)^2 + a^2
d^2 = a^2 3 + c^2 - 2 a c
Так как трапеция равнобокая, то c = a + 2b = 3a. Подставляем это в формулу для d^2:
d^2 = a^2 3 + (3a)^2 - 2 a 3
d^2 = 3a^2 + 9a^2 - 6a^
d^2 = 6a^
d = a √6
Таким образом, угол при вершине B трапеции равен:
∠B = 180° - ∠ABC = 180° - 30° = 150°.