В равнобокой трапеции боковая сторона равна меньшему основанию, а диагональ образует с этим основанием угол 30°. Найдите градуснуо меруострого угла трапеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть меньшее основание трапеции равно a, боковая сторона равна b, большее основание равно c, а диагональ равна d.

Из условия задачи имеем:
b = a
∠ABC = 30°

Обозначим через h высоту трапеции. Тогда применим теорему косинусов к треугольнику ABC:

cos(30°) = (b^2 + h^2 - a^2) / (2 b h)
√3 / 2 = (a^2 + h^2 - a^2) / (2 a h)
√3 / 2 = h / (2 a)
h = a √3

Так как треугольник ADC равнобедренный, то h является высотой треугольника ADC.

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику ADC:

d^2 = (c - a)^2 + h^2
d^2 = (c - a)^2 + a^2 3
d^2 = a^2 3 + c^2 - 2 a c

Так как трапеция равнобокая, то c = a + 2b = 3a. Подставляем это в формулу для d^2:

d^2 = a^2 3 + (3a)^2 - 2 a 3a
d^2 = 3a^2 + 9a^2 - 6a^2
d^2 = 6a^2
d = a √6

Таким образом, угол при вершине B трапеции равен:

∠B = 180° - ∠ABC = 180° - 30° = 150°.