В равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC) биссектриса BL пересекается с биссектрисой угла A в точке I. Точка X на стороне AB выбрана так, что BX=BC. Прямая XI пересекает основание BC в точке Y. Найдите длину отрезка YC, если AL=49, LC=21, BC=30.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через ( AX = a ) и ( XC = b ). Так как ( BX = BC ), то ( AX = BC - BX = 30 - b ).

Так как ( BL ) — биссектриса угла ( B ) в треугольнике ( ABC ), то ( \triangle ABL ) — равнобедренный, т.е. ( BL = AL = 49 ). Из теоремы синусов в треугольнике ( ABL ) находим, что:

[
\frac{49}{\sin{\angle BAL}} = \frac{30}{\sin{\angle B}}
]

Из условия имеем, что ( \angle BAL = \angle IAX ) (как углы, лежащие на биссектрисе). Поэтому углы ( \angle BAL ) и ( \angle B ) смежные и равны. Вернёмся к уравнению:

[
\frac{49}{\sin{\angle IAX}} = \frac{30}{\sin{\angle BAL}}
]

[
\frac{49}{\sin{\angle IAX}} = \frac{30}{\sin{\angle IAX}}
]

[
\sin{\angle IAX} = \frac{30}{49}
]

Аналогично, можно показать, что ( \sin{\angle IXA} = \frac{49}{29} ), значит ( \sin{\angle AIX} = \frac{20}{49} ).

Теперь можем применить теорему Синусов к треугольнику ( AIX ):

[
\frac{b}{\sin{\angle AIX}} = \frac{a}{\sin{\angle IXA}}
]

[
\frac{b}{\frac{20}{49}} = \frac{a}{\frac{49}{30}}
]

[
\frac{b}{\frac{20}{49}} = \frac{30 - b}{\frac{49}{30}}
]

Решив эту систему уравнений, получим ( b = \frac{1470}{79} ) и ( a = \frac{882}{79} ).

Отсюда, ( YC = 30 - b = \frac{30 \cdot 79 - 1470}{79} = 15 ).

Итак, длина отрезка ( YC ) равна 15.