В равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC) биссектриса BL пересекается с биссектрисой угла A в точке I. Точка X на стороне AB выбрана так, что BX=BC. Прямая XI пересекает основание BC в точке Y. Найдите длину отрезка YC, если AL=49, LC=21, BC=3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи имеем, что BC=3 и LC=21. Также, из того, что треугольник ABC равнобедренный, следует, что AB=3.

Теперь заметим, что треугольники ABL и AXC подобны по двум углам, так как углы ABL и AXC равны как вертикальные углы и углы BAL и CAX равны как углы при основании равнобедренного треугольника.
Отсюда получаем, что

\frac{BL}{AX} = \frac{AL}{XC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{XC},

откуда AX = 3 * BL / XC.

Теперь заметим, что треугольники ALI и YCI подобны по двум углам, так как углы ALI и YCI равны как вертикальные углы и углы AIL и CYI равны как углы при основании равнобедренного треугольника.

Отсюда получаем, что

\frac{AL}{YC} = \frac{LI}{CI} = \frac{AL}{CI} = \frac{AL}{AX} = \frac{49}{3BL/XC} = \frac{49}{321/3} = \frac{49}{7} = 7,

откуда YC = AL / 7 = 49 / 7 = 7.

Таким образом, YC = 7.