Прямая касается двух окружностей с центрами в точках O и P в точках A и B соответственно. Через точку С, в которой эти окружности касаются друг друга, проведена их общая касательная, пересекающая прямую AB в точке M. Найти PM, если AB = 8, ∠COM = α

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что касательная проведена через точку С - точку касания окружностей.

Поскольку прямая касается окружности в точке A и C, то треугольник OAC прямоугольный, аналогично треугольнику OBC.

Таким образом, OC - это высота прямоугольного треугольника OAB с гипотенузой OҪ и катетом OA.
ОA = OC/cos ─ (180°-α)/2.
OC = Rcos (180°-α)/2
R = OC/cosЯ
RM хотя бы не меньше α.

следовательно,
OA = 4cos (180°-α)/2
AM = 4sin (180°-α)/2

PA = 4sinα
РМ = AM sinα

PA и PM параллельны и треугольники PAM и PAC подобны.
AM/AC = PA/PC
PA = 8sinα
PM = PA sinα
PM = AB sin²α
PM = 8sin²α

Ответ: PM = 8sin²α.