Даны две окружности, касающиеся внешним образом в точке A. В этих окружностях проводятся взаимно перпендикулярные хорды AB и AC. Найдите множество середин гипотенуз получающихся прямоугольных треугольников ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиусы окружностей как r1 и r2, расстояние между центрами окружностей как d, а длины хорд AB и AC как x и y соответственно.

Так как хорды AB и AC являются перпендикулярными, то треугольник ABC будет прямоугольным. Поэтому применим теорему Пифагора:

AB^2 + AC^2 = BC^2

Так как AB и AC – хорды окружности, то:

AB = 2 sqrt(r1 (r1 + d))

AC = 2 sqrt(r2 (r2 + d))

Подставим найденные значения в формулу для BC:

(2 sqrt(r1 (r1 + d)))^2 + (2 sqrt(r2 (r2 + d)))^2 = BC^2

Упростим:

4 (r1^2 (r1 + d)) + 4 (r2^2 (r2 + d)) = BC^2

4 (r1^3 + r1^2 d) + 4 (r2^3 + r2^2 d) = BC^2

4 (r1^3 + r1^2 d + r2^3 + r2^2 * d) = BC^2

BC = 2 sqrt(r1^3 + r1^2 d + r2^3 + r2^2 * d)

Теперь найдем множество середин гипотенуз получающихся прямоугольных треугольников ABC. Для этого нам нужно найти среднюю точку отрезка BC. Обозначим ее как M.

M = (B + C) / 2

где B и C – концы гипотенузы BC.

Таким образом, множество середин гипотенуз будет представлять собой окружность с центром в точке M и радиусом BC/2.