В треугольнике АВС: угол С = 90°, АС = 15, угол А = 20°. Точка М удалена на расстояние 25 от каждой вершины треугольника.
Найти угол между МС и плоскостью АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точки М. Обозначим точку А как (0,0), В как (0,15) и С как (x,0). Так как угол А = 20°, то МС будет делить угол АСВ пополам, следовательно, угол МСВ = 10°.

Так как точка М удалена на расстояние 25 от каждой вершины треугольника, то М должна находиться внутри окружности с центром в точке, в которой пересекаются высоты треугольника АВС. Радиус этой окружности равен 25.

Теперь найдем точку М. Обозначим ее как (х, у). Так как М находится на равном расстоянии от каждой вершины треугольника, то удовлетворяет соотношениям:

х^2 + у^2 = 25^2,
(х - 0)^2 + (y - 0)^2 = 25^2,
(х - 0)^2 + (у - 15)^2 = 25^2.

Решив систему уравнений, находим, что х ≈ 12.29, у ≈ 20.0.

Теперь найдем угол между МС и плоскостью АВС. Угол между прямой и плоскостью можно найти по формуле cos(θ) = |(a1b1 + a2b2 + a3b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))|, где a и b - векторы нормалей прямой и плоскости соответственно.

Нормаль к плоскости АВС (0,0,15), нормаль к прямой МС (х, у, 0). Подставляя значения, находим cos(θ) ≈ 0.88. Следовательно, угол между МС и плоскостью АВС ≈ arccos(0.88) ≈ 28.25°.