В прямоугольном треугольнике высота длиной 12 см проведена к гипотенузе и делит её на отрезки разности между которыми 7 см . Найдите периметр треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда по теореме Пифагора имеем:
a^2 + b^2 = c^2.

Так как высота треугольника делит гипотенузу на два отрезка, длина которых отличается на 7 см, то:
a = b + 7.

По условию, высота равна 12 см, а один из катетов равен b. Тогда в прямоугольнике с основанием b и высотой 12 см мы можем выразить катет a через b и 12:
a = \sqrt{b^2 + 12^2}.

Подставим полученные выражения для a в квадрат и c в квадрат в теорему Пифагора:
(b + 7)^2 + b^2 = b^2 + 12^2.

Раскрываем квадрат:
b^2 + 14b + 49 + b^2 = b^2 + 144.

После сокращения:
b^2 + 14b + 49 = 144.

Перенесем все слагаемые в одну часть:
b^2 + 14b + 49 - 144 = 0,
b^2 + 14b - 95 = 0.

Далее находим корни этого уравнения:
D = 14^2 - 4 1 (-95) = 196 + 380 = 576,
b1 = (-14 + √576) / 2 = (-14 + 24) / 2 = 5,
b2 = (-14 - √576) / 2 = (-14 - 24) / 2 = -19.

Так как b должно быть положительным, то b = 5 см. Тогда a = 12 см.

Найдем длину гипотенузы:
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.

Теперь можем найти периметр треугольника:
P = a + b + c = 12 + 5 + 13 = 30.

Итак, периметр треугольника равен 30 см.