Объем треугольной пирамиды SABC равен 56. Плоскость проходит через среднюю линию ( МР II ВC) основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке K, делящей это ребро в отношении 3: 4, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды KМРА

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам понадобится находить объем пирамид по их двум плоским фигурам.

Обозначим боковую грань пирамиды KMA - например, RKA.

Тогда площадь треугольника KRA можно найти, используя подобие треугольников KMA и MSB:

SR:SK = MB:MA
SR = МВ = 4MA
SK = КМ = 3MA

Отсюда MA:SK = 4:3

Как известно, объем пирамиды равен одной трети произведения высоты пирамиды на площадь ее основания. Обозначим высоты треугольных пирамид SABC и KMA - h и h'.

Тогда (1/3)hSABC = (1/3)h'KRA

Так как SABC = 56:

h = 56/h'

Теперь найдем площадь треугольника KRA. Из подобия треугольников KMA и MSB:

КМ/MB = MA/MS
3/4 = MA/SK
MA = 3SK/4 = 3/4 * h' = 3h/4

Из подобия треугольников KRA и SAB:

KR/SA = KA/SB
KR/KM = KA/1
KR = KA KM = 3SK KM = 3/4 h' 3h' = 9/4 h'^2 = 9/4 h^2

Hаконец, находим объем пирамиды KMA:

V(KMA) = (1/3)h'KRA = (1/3)h'KRRA = (1/3)h'9/4 h^2 * S

Подставляем h = 56/h':

V(KMA) = (1/3)(56/h')9/4 (56/h')^2 S
V(KMA) = 1/3 56 9/4 56 56/h'^3
V(KMA) = (56 9/4 56)/3 = 11232/3
V(KMA) = 3744

Ответ: объем пирамиды KMA равен 3744.