Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 от...
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через
точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=√15/4
Интересует рисунок и решение
16..

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим рисунок.

Пусть точка M находится на расстоянии 8 от точки A, а точка N находится на расстоянии 30 от точки A. Также пусть точка O - центр окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB.

Поскольку окружность касается луча AB, то радиус окружности (расстояние от центра окружности до стороны AB) равен высоте треугольника OAB. Обозначим эту высоту через h.

Так как cos∠BAC=√15/4, то мы можем использовать формулу h = c * cos(A), где c - гипотенуза треугольника OAB (расстояние от O до AB), A - угол BAC.

Из теоремы Пифагора для треугольника OAB получаем:
c^2 = h^2 + r^2, где r - радиус окружности.

Также, учитывая, что треугольник OAM подобен треугольнику ABC, мы можем записать:
h/r = AM/AC = 8/(8+30) = 8/38 = 4/19.

Теперь можем записать уравнение:
(4/19)r = h = c cos(A),
(4/19)r = sqrt(c^2 - r^2) cos(arccos(√15/4)),
(4/19)r = sqrt(c^2 - r^2) (√15/4),
(4/19)r = (√15/4) sqrt(c^2 - r^2),
16r^2 = 15(c^2 - r^2).

Также, у нас есть:
AC^2 = AM^2 + MC^2,
38^2 = 8^2 + MC^2,
MC = √(38^2 - 8^2) = √(1444) = 38.

Таким образом, MC = 38 и ON = 30-8 = 22.

Так как треугольник OAN также подобен треугольнику ABC, то получаем:
h' / r = AN / AC = 22 / 38 = 11 / 19,
(11/19) r = √(c^2 - r^2) cos(arccos(√15/4)),
(11/19) r = (√15/4) √(c^2 - r^2),
121r^2 = 225(c^2 - r^2).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
16r^2 = 15(c^2 - r^2),
121r^2 = 225(c^2 - r^2).

Ее можно решить, чтобы найти значения радиуса r и гипотенузы c.