На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно; AB = 9 см, AD = 3 см, AP = 6 см, DP = 4 см, BE = 8 см, DE = 12 см. а) Найдите отношение площадей ΔDBE и ΔADP. [4] б) Докажите, что DE и AC параллельны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Площади треугольников можно найти по формуле: ( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} )
Площадь треугольника ( \Delta DBE )
( S{DBE} = \frac{1}{2} \times BE \times DP = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 ) кв. см
Площадь треугольника ( \Delta ADP )
( S{ADP} = \frac{1}{2} \times AD \times AP = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9 ) кв. см
Отношение площадей ( \frac{S{DBE}}{S{ADP}} = \frac{16}{9} = \frac{16}{9} ).

б) Докажем, что DE и AC параллельны
Из условия известно, что ( DE = 12 ) см, ( AD = 3 ) см, ( AP = 6 ) см
Рассмотрим треугольники ( \Delta ADE ) и ( \Delta PDA )
По условию ( \angle DAP = \angle DEA ) (обозначим их как ( \alpha )) так как это углы противоположные при вершине
Также ( \angle D = \angle D ), т.к. угол равен самому себе
Таким образом, по углу-углу-стороне эти два треугольника подобны
Из подобия треугольников ( \Delta ADE ) и ( \Delta PDA ) следует, что соответствующие стороны параллельны
Таким образом, отрезок DE параллелен отрезку AC.