В треугольнике АВС ﮮВ=45º, высота АР делит сторону ВС на отрезки ВР=8 см, РС=6 см. Найдите площадь ∆АВС и сторону АС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы видим, что треугольник прямоугольный, так как угол B = 45 градусов.
Также мы получаем прямоугольный треугольник BPR, в котором мы можем найти длины сторон:
BR = 8 см
CR = 6 см
Из теоремы Пифагора в треугольнике BPR, мы можем найти длину BP:
BP = √(BR^2 - PR^2) = √(8^2 - 6^2) = √(28) = 2√7 см
Теперь мы можем найти длину BC:
BC = BR + CR = 8 + 6 = 14 см
Также мы можем найти длину AC через длины AB и BC:
AC = √(AB^2 + BC^2)
Мы знаем, что:
tg(B) = PR/BR = AR/BP
tg(45) = PR/8 = AR/2√7
1 = PR/8 = AR/2√7
PR = 8, AR = 2√7
Отсюда
AB = AR + RP = 2√7 + 8 = 6 + 4√7
AC = √((6+4√7)^2 +14^2) = √(36 + 16√7 + 56 + 196) = √(232 + 16√7) = √16(14 + √7) = 4√(14 + √7)
Площадь треугольника ABC вычислим как:
S = 0.5 AB BC = 0.5 (6 + 4√7) 14 = 42 + 28√7
Итак, площадь треугольника ABC равна 42 + 28√7 квадратных сантиметров, а сторона AC равна 4√(14 + √7) см.