Высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла один из которых вдвое больше другого.докажите что эта высота делит гипотенузу в отношении 3:1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим углы треугольника через A, B и C, где угол C это прямой угол. Пусть высота треугольника делит угол C на два других угла в пропорции 1:2, то есть ACB = 2*BCA.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, у нас имеется равенство ACB + BCA + CAB = 180. Подставляем ACB = 2BCA, получаем 2BCA + BCA + CAB = 180, и зная что CAB = 90 градусов (угол C), получаем 3*BCA = 90 => BCA = 30.

Теперь посмотрим на больший прямоугольный треугольник ABC со стороной AC как гипотенузой и отрезком CD как высотой. Так как BCA = 30, то угол ABC = 60 и угол A = 90. Так как теперь у нас есть равносторонний треугольник в ABC, где A = B = C = 60, видим что CD = AC/2.

Таким образом, отрезок высоты треугольника делит гипотенузу в отношении 3:1.