В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC и AC и высотой AB диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу . Известно отношение оснований DC : AD = m : n . Найдите отношения AC : KC и BD : DC .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим DC = m, AD = n. Тогда BC = m + n.

Так как диагонали AC и BD перпендикулярны, то треугольник ABC прямоугольный.

Из подобия треугольников ABC и AKB:

AC / AK = BC / AB
AC / AK = (m + n) / AB

Из треугольника ABC:

AB^2 = AC^2 - BC^2
AB^2 = AC^2 - (m + n)^2

Из треугольника AKB:

AK^2 = AB^2 + KB^2
AK^2 = AB^2 + KC^2

Следовательно:

AK^2 = AC^2 - (m + n)^2
AK^2 = AC^2 - m^2 - 2mn - n^2
AC^2 - m^2 - 2mn - n^2 = AC^2 - (m + n)^2
-m^2 - 2mn - n^2 = -(m^2 + 2mn + n^2)
-m^2 - 2mn - n^2 = -m^2 - 2mn - n^2

Таким образом, AC = AK

Отношение AC : KC = AK : KC = AC : AK = m + n : n = m/n + 1

Из подобия треугольников ABC и BCD:

DC / BC = BC / AB
DC / (m + n) = (m + n) / AB

Отсюда AB = (m + n) ^ 2 / (m + n)

Из треугольника BCD:

BD^2 = BC^2 + DC^2
BD^2 = (m + n) ^ 2 + m^2
BD^2 = m^2 + 2mn + n^2 + m^2
BD^2 = 2m^2 + 2mn + n^2

Отношение BD : DC = BD / DC = sqrt(2m^2 + 2mn + n^2) / m = sqrt(2(m^2 + mn) + n^2) / m = sqrt(2n (m + n) + n^2) / m = n sqrt(2(m + n)/m + n) / m = n sqrt(2(m + n)/m + n) / m .