1. Точка M равноудалена от вершин квадрата ABCD на расстояние 10 см, а от сторон квадрата - на расстояние
8 см. Найдите: a) косинус угла между MA и плоскостью квадрата; 6) синус угла между плоскостями AB и ABC; в) расстояние от точки А до плоскости BCD.
2. Даны точки А (-1; -3; 2), B(5; -1; -1),c (3; 0; 2). a) Найдите координаты и модуль вектора ВА; 6) Найдите координаты точки D, если AD = DC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Пусть O - центр квадрата ABCD. Так как точка M равноудалена от вершин квадрата, то она находится на оси симметрии квадрата, проходящей через центр O. Обозначим точку проекции M на плоскость квадрата параллельно стороне AB как P. Тогда треугольник AOP прямоугольный, где AO = 10 см, OP = 8 см. Используем теорему Пифагора: AP = √(AO^2 - OP^2) = √(10^2 - 8^2) = √(100 - 64) = √36 = 6. Теперь можем найти косинус угла между вектором MA и плоскостью квадрата: cos α = AP / AM = 6 / 10 = 0.6.

б) Плоскости AB и ABC параллельны, поэтому угол между ними равен 0 градусов, а значит sin α = 0.

в) Расстояние от точки А до плоскости BCD равно расстоянию от точки А до стороны BC, которое равно длине проведенной высоты треугольника ABC. Треугольник ABC прямоугольный, поэтому можем использовать подобие треугольников: BC / AB = AC / BC => BC^2 = AB AC. AB = √((-1 - 3)^2 + (-3 - 0)^2 + (2 + 1)^2) = √40, AC = √((3 + 1)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - 2)^2) = √20. BC = √40 √20 = 4√10.

a) Координаты и модуль вектора BA = (-1 - 5; -3 + 1; 2 + 1) = (-6; -4; 3), |BA| = √((-6)^2 + (-4)^2 + 3^2) = √(36 + 16 + 9) = √61.

б) Точка D лежит на отрезке AC и имеет равное расстояние от точек A и C. Найдем координаты этой точки. Найдем координаты точки C, путем поиска средней точки между A и B: C = ((-1 + 5) / 2; (-3 - 1) / 2; (2 - 1) / 2) = (2; -2; 1). Теперь можем найти координаты D, которая также имеет среднюю координату между A и C: D = ((-1 + 2) / 2; (-3 - 2) / 2; (2 + 1) / 2) = (0.5; -2.5; 1.5). Таким образом, координаты точки D равны (0.5; -2.5; 1.5).