В прямую призму вписан цилиндр, площадь полной поверхности которого равна 106п. Основание призмы — ромб с углом 45°. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 5√2
Найдите объем призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона ромба основания призмы равна a, тогда его диагональ равна √2a.
Площадь ромба можно найти по формуле S = a²sin(45°) = а²/2.
Так как площадь полной поверхности цилиндра равна 106п, то 2πrh + 2πr² = 106, где r - радиус цилиндра, h - его высота.
Так как цилиндр вписан в призму, его высота совпадает с высотой призмы, а радиус равен половине диагонали ромба основания призмы (r = √2a / 2).
Следовательно, уравнение превращается в π√2ah + πa²/2 = 106, откуда h = (53 - a²) / (√2a).
Теперь найдем объем призмы. V = S_prizmah = a²/2 (53 - a²) / (√2a) = (53a - a³) / (2√2).
Так как нам дано, что расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 5√2 => a/√2 = 5 => a = 5√2.
Тогда объем призмы V = (535√2 - (5√2)³) / (2√2) = (265√2 - 502√2) / (2√2) = (265 - 100) = 165.
Ответ: объем призмы равен 165.