Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым C углом . Пусть BK — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника AKB , пересекает вторично сторону BC в точке L . Найдите CB+CL , еcли AC=4 AB=5 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим BC = x, также обозначим AC = 4 = b, AB = 5 = c. Так как BK — биссектриса, то по формуле углов биссектрисы в треугольнике:

c/b = x/BC.

Учитывая AC = 4 и AB = 5:

5/4 = x/(4 + x)
5(4 + x) = 4x
20 + 5x = 4x
x = -20

Приходим к противоречию, следовательно, мы ошиблись в расчетах. Поэтому пересчитаем.

По теореме синусов в треугольнике ABK:

AB/sin <AKB = BK/sin ABK
5/sin <AKB = BK/sin ABK

Так как BK — биссектриса, то BK = 5 sin <KAB / sin ABK = 5 sin <ABC / sin <BAC = 5 (AC / (AB + AC))

BK = 5 * 4 / (5 + 4)
BK = 20 / 9

Также, угол BLK = BAK и угол BKL = BAC – ABC. Применяем теорему синусов для нахождения BC:

LK/sin <BKL = BK/sin <BLK
LK/sin C = BK/sin B
LK/sin (90 – A) = BK/sin A
LK/sinA = 20/9. sin 90-A

Теперь применяем формулу косинусов в треугольнике BCL:

x^2 = 4^2 + (20/9)^2 - 2420/9(20/9)cos (90-A)

Выразим cos (90 – A) через sin A :

cos (90 – A) = sin A

Тогда

x^2 = 16 + (400/81) - (1600/81)(1) - (1600/81)(1)
x^2 = 144/3

x = 24/3 = 8

Следовательно, CB + CL = 8 + 4 = 12.