Вокруг трапеции описано круг. Найти радиус круга, если основания трапеции 20 см и 12 см, угол между боковой стороной трапеции и основой равен 30 градусов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нам понадобится знать, что радиус описанного круга в трапеции равен половине диагонали трапеции.

Сначала найдем диагональ трапеции, соединяющую вершины:

Диагональ равна стороне трапеции, умноженной на корень из суммы квадратов отношения высот к основаниям:

$d = a\sqrt{1 + \left(\frac{h_2 - h_1}{a}\right)^2}$

По условию, трапеция с углом в 30 градусов разделена на два равнобедренных треугольника. Зная основания и угол в них, находим высоту:

$h_1 = a \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 см$

$h_2 = b \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 см$

Теперь можем найти диагональ:

$d = 20 \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{6 - 10}{20}\right)^2} = 20 \cdot \sqrt{1 + \left(-\frac{2}{5}\right)^2} = 20 \cdot \sqrt{1 + \frac{4}{25}} = 20 \cdot \sqrt{\frac{29}{25}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{29}}{5} = 4\sqrt{29} см$

Таким образом, радиус описанного круга равен половине диагонали:

$r = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{29}}{2} = 2\sqrt{29} см$

Ответ: радиус круга, описанного вокруг трапеции, равен 2√29 см.