Четырёхуголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB = 5 и CD = 17 впи­сан в окруж­ность. Диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, причём Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого четырёхуголь­ни­ка.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то углы BAD и BCD являются смежными и их сумма равна 180 градусов. Также из угловой околоцентричности следует, что BD является диаметром описанной окружности.

Из теоремы косинусов для треугольника ABD:
(BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD))

Подставляем известные значения:
(17^2 = 5^2 + 17^2 - 2 \cdot 5 \cdot 17 \cdot \cos(\angle BAD))

(\cos(\angle BAD) = \frac{17^2 + 5^2 - 17^2}{2 \cdot 5 \cdot 17} = \frac{25}{85} = \frac{5}{17})

Таким образом, (\sin(\angle BAD) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle BAD)} = \sqrt{1 - \frac{25}{289}} = \frac{12}{17})

Теперь, задействуем теорему синусов для треугольника ABD:
(\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)})

Из условия известно, что (AD = 12) и (\sin(\angle ABD) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5}{13} = \frac{5\sqrt{3}}{26})

Подставляем и находим (BD = 15)

Следовательно, радиус окружности, описанной вокруг четырёхугольника ABCD равен половине длины диаметра:
(R = \frac{BD}{2} = \frac{15}{2} = 7.5)