Расстояния от точки,взятой внутри равностороннего треугольника до его сторон равны 4 см,5см и 6 см. Найдите площадь этого треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан равносторонний треугольник ABC, а точка M — точка внутри треугольника. Пусть AM = 4 см, BM = 5 см, CM = 6 см.

Проведем от точки M перпендикуляры к сторонам треугольника. Обозначим точки их пересечения с треугольником как D, E, F соответственно. Таким образом, наш треугольник разбился на 6 одинаковых равнобедренных треугольников 2 таким образом, что в каждом из них сторона большего угла соответствует одной из сторон треугольника ABC.

Так как треугольник ABC равносторонний, то его высота, проведенная из вершины (или высота, опущенная на сторону) равна

h_ABC = sqrt(3) * a/2, где a — длина стороны треугольника.

Тогда площадь каждого из маленьких равнобедренных треугольников равна

S_треугольника = 1/2 h_ABC (a/2) = 1/4 sqrt(3) a^2.

Поскольку у нас разбился треугольник на 6 равнобедренных треугольников таких же площадей, площадь треугольника ABC равна

S_ABC = 6 S_треугольника = 3/2 sqrt(3) * a^2.

Таким образом, площадь равностороннего треугольника ABC равна 3/2 sqrt(3) a^2, где а — длина его стороны.