Задача 1: Пусть АМ - медиана треугольника АВС. На отрезке АМ выбрана точка К так, что угол ВАС+угол ВКС =180°.Найдите наименьшее возможное значение суммы длин отрезков АС и ВК, если АВ=25, СК=9
Задача 2: Дан правильный 21-угольник. Найдите количество троек его вершин, являющихся вершинами треугольника, в котором хотя бы один угол равен 60°
(Две тройки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение задачи 1:

Пусть точка К лежит на отрезке AM и образует треугольник АКС. Также обозначим углы A и C как α и β соответственно.

Из условия задачи у нас есть угол ВАС + угол ВКС = 180°, то есть α + β = 180°. Так как у треугольника ВАС сумма углов также равна 180°, то угол ВАС = 180° - (α + β) = 180° - 180° = 0°. Это означает, что отрезок AC является диаметром описанной окружности треугольника АВК, следовательно, угол ВКА = 90°.

Теперь посмотрим на треугольник АКС. Из теоремы Пифагора имеем: АК^2 = ВК^2 + ВА^2 = 9^2 + 25^2 = 81 + 625 = 706, откуда АК = √706.

Теперь чтобы найти наименьшее возможное значение суммы длин отрезков AC и ВK, нам нужно минимизировать значение АК. Это происходит при условии, что K - середина отрезка AM, то есть АК = АМ / 2. Так как AM = 2/3 AC (так как медиана делит сторону треугольника в отношении 2:1), то АМ = 2/3 AC = 2/3 2 АК = 4/3 АК. Следовательно, 4/3 АК = √706, откуда АК = 3/4 √706 = 3/4 23 = 17.25.

Таким образом, наименьшее возможное значение суммы длин отрезков AC и ВK равно 17.25 + 9 = 26.25.

Ответ: 26.25

Решение задачи 2:

Для нахождения количества троек вершин, являющихся вершинами треугольника в правильном 21-угольнике, в котором хотя бы один угол равен 60°, нужно рассмотреть все возможные тройки вершин и посчитать количество таких троек.

Правильный 21-угольник имеет 21 вершин, следовательно, всего существует C(21,3) = 21! / (3! * 18!) = 1330 троек вершин.

Теперь найдем количество троек, в которых хотя бы один угол равен 60°. Угол 60° может быть вершиной треугольника только в одном случае: когда он является вершиной равностороннего треугольника. Таких троек вершин будет столько же, сколько равносторонних треугольников можно построить на 21-угольнике. Так как каждая сторона 21-угольника является стороной равностороннего треугольника, то всего таких троек будет 21.

Итак, искомое количество троек вершин, являющихся вершинами треугольника в правильном 21-угольнике, в котором хотя бы один угол равен 60°, равно 21.

Ответ: 21