Ни одна из вершин произвольного треугольника не принадлежит плоскости а( альфа). Докажите, что расстояние от точки пересечения медиан этого треугольника к плоскости а равно среднему арифметическому расстояний от вершин треугольника к этой плоскости.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точку пересечения медиан треугольника как О. Так как ни одна из вершин треугольника не принадлежит плоскости а, то расстояния от вершин треугольника до плоскости равны высотам, опущенным из вершин. Обозначим эти расстояния как h1, h2 и h3.

Так как медиана делит стороны треугольника в отношении 2:1, то точка О делит каждую медиану на две части, в которых одна часть равна двум другим. Пусть точка O делит медиану, проведенную из вершины А, на отрезки ОМ и МN, причем ОМ = 2MN. Точно так же можно разбить и другие медианы треугольника.

Теперь посчитаем расстояния от вершин треугольника до точки О:

AO = 2MO, BO = 2NO, CO = 2PO

Теперь выразим расстояния MO, NO и PO через h1, h2 и h3 (высоты треугольника до точки пересечения медиан):

MO = h1/3, NO = h2/3, PO = h3/3

Теперь выразим расстояние от точки О до плоскости а через высоты треугольника:

d = (h1 + h2 + h3)/3

Таким образом, расстояние от точки О до плоскости а равно среднему арифметическому расстояний от вершин треугольника до этой плоскости.