В прямоугольном треугольнике наименьший высоты вчетверо короче гипотенузы. Во сколько раз самый большой угол этого треугольника больше самого маленького из углов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть гипотенуза равна $c$, катеты равны $a$ и $b$, а высота опущенная из прямого угла равна $h$.
Из условия наименьшая высота $h$ вчетверо меньше гипотенузы $c$, то есть $h = \frac{c}{4}$.
Так как треугольник прямоугольный, то $h = \frac{ab}{c}$.
Отсюда $c = 4ab/c \Rightarrow c^2 = 4ab \Rightarrow c = 2\sqrt{ab}$.
Поскольку у треугольника сумма углов равна $180^\circ$, самый большой угол равен $90^\circ$, а самый маленький угол - это угол, лежащий напротив наименьшей стороны, то есть против гипотенузы.
Из теоремы синусов:
[\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \text{ и } \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}]
где $\alpha$ и $\beta$ - углы, лежащие напротив катетов, сумма которых равна 90 градусов, а $\gamma$ - угол напротив гипотенузы. Тогда
[\sin \alpha = \frac{a}{c}] [\sin \beta = \frac{b}{c}]
Их сумма равна [\sin \alpha + \sin \beta = \frac{a+b}{c} = \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(a+b)^2}{ab}} = \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2}]
Откуда видно, что самый большой угол больше самого маленького в $\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2}$ раз.