Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 48 см^3. Высота равна 4 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь основания пирамиды. Обозначим ее за S. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:
V = (S h) / 3,
48 = (S 4) / 3,
S = (48 * 3) / 4,
S = 36 см^2.

Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то боковая поверхность состоит из четырех равнобедренных треугольников. Найдем высоту одного из таких треугольников. Обозначим за a сторону основания пирамиды. Тогда с помощью пифагоровой теоремы найдем диагональ основания:
диагональ^2 = a^2 + a^2 = 2a^2,
диагональ = √(2a^2) = a√2.

По теореме Пифагора, высота равнобедренного треугольника равна:
h = √(a^2 - (a/2)^2) = √(3a^2 / 4) = (a√3) / 2.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех треугольников:
Sб = 4 (a h) / 2 = 4 (a (a√3) / 2) / 2 = 2√3 * a^2.

Теперь известно, что S = 36 см^2, поэтому:
a^2 = 36 / 2√3 = 18√3,
a = √(18√3) = √(18) √(√3) = 3√2 √(√3).

Итак, площадь боковой поверхности равна:
Sб = 2√3 (3√2√(√3))^2 = 2√3 3 2 3 = 36 см^2.